7.5 Fließvorgang im offenen Gerinne

Einige Begriffe:

Stromlinien: Linien, die überall tangential zu den örtlichen Geschwindigkeitsvektoren verlaufen.

Isotachen: Linien, die Punkte mit gleicher Geschwindigkeit verbinden.

Bahnlinien: Linien, die zeigen, wo das Wasser längs fließt, konstruiert aus den Stromlinien.

turbulent: Betrag und Richtung der Geschwindigkeitsvektoren ändern sich ständig

laminar: Betrag und Richtung der Geschwindigkeitsvektoren bleibt gleich

Bewegungszustand für eine Gerinneströmung bezogen auf den Abfluss Q(t):
stationär: Wassergehalt ändert sich während des Bewegungsablaufes nicht
instationär: ständige Wassergehaltsänderungen, ausgleichende Wasserbewegungen zur Wiederherstellung des Potentialgleichgewichts.

7.5.1 Ideale Strömung

Eine ideale Strömung liegt bei einer reibungsfreien und inkompressiblen Flüssigkeit vor.
Die Geschwindigkeit ist über den Rohrquerschnitt konstant.
Der Fluss Ø ist jene Flüssigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch einen Strömungsquerschnitt fließt:

Ø = d · v · A

Es gilt die Kontinuitätsbedingung, d.h. : in jedem Querschnitt ist der Fluss konstant : Ø1 = Ø2 oder

v 1 · A 1 = v 2 · A 2 = v 3 · A 3
Abb. 7.5: Kontinuitätsbedingung für ideale Strömung.

Die Bernoullische Gleichung besagt, dass der Gesamtdruck in einer idealen Strömung die Summe aus statischem Druck und dynamischen Staudruck ist:

Sinkt in einer Strömung v, dann steigt der statische Druck po, nimmt die Geschwindigkeit v zu, dann sinkt der statische Druck po.
Anwendungen: Parfümzerstäuber, Tragflächenprofile, Wasserstrahlpumpe

Abb. 7.6: Bernoullische Gleichung für offene Gerinne (Schröder et al. 1994, verändert).
Bernoullische Gleichung
h E = h k + h D + z = const.
h E = v 2 2 g + p 1 ρ · g + z = const.
m · v 2 2 + m · p ρ + m · g · z = const. = m · g · h E
hE: Energiehöhe
hk: kinetische Energiehöhe, Geschwindigkeitshöhe
hD: Druckhöhe
z: geodätische Höhe
v: Geschwindigkeit
g: Erdbeschleunigung
p: Druck
ρ: Dichte der Flüssigkeit

7.5.2 Laminare und turbulente Strömung

Bei der laminaren Strömung nimmt die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsschichten von der Wand bis zur Achse des Rohres hin kontinuierlich zu. In einem Gerinne findet sich die maximale Geschwindigkeit an der Oberfläche. Laminare Strömungen haben ein parabolisches Strömungsprofil. Die Flüssigkeitsteilchen unmittelbar an der Gefäßwand sind in Ruhe. Die Stromlinien verlaufen parallel. Die mittlere Geschwindigkeit beträgt v = vmax/2 .Für die laminare Strömung einer Flüssigkeit in einem starren, zylindrischen Rohr gilt das Hagen-Poiseuillesche Gesetz. Es beschreibt einen analogen Zusammenhang wie das Ohmsche Gesetz der Elektrodynamik zwischen der strömungserzeugenden Druckdifferenz und dem Strömungswiderstand. Voraussetzungen für die Anwendung dieses Gesetzes sind:

  • Homogenität der Flüssigkeit
  • Laminarität der Strömung
  • Benetzbarkeit der Rohrwandung
  • Starrheit der Rohre.

Die Stromstärke I ist das Volumen, das pro Zeiteinheit den Rohrquerschnitt durchströmt: I = V/t. Die Stromstärke ist proportional der Druckdifferenz und umgekehrt proportional dem Strömungswiderstand: I = V/t = (p2-p1) /Rs. Der Strömungswiderstand Rs ist proportional der Rohrlänge und der Viskosität, aber umgekehrt proportional der 4. Potenz des Rohrradius: Rs = (8 · η · l) / (π · r4).

Steigt die Geschwindigkeit der Strömung an, beginnen sich die Flüssigkeitsschichten zu verwirbeln und es entsteht eine turbulente Strömung. Das Geschwindigkeitsprofil flacht ab, da sich die Flüssigkeitsteilchen auch quer zur Rohrachse bewegen. Das einzelne Wasserteilchen ist schneller als die Welle, Trajektorien kreuzen sich. Der Strömungswiderstand steigt an. Der Übergang in die turbulente Strömungsform hängt von der Viskosität, von der Dichte, vom Gefäßradius und von der mittleren Geschwindigkeit ab, die in der dimensionslosen Reynoldschen Zahl Re zusammengefaßt werden.

Reynolds-Zahl
Re = ν · ρ · A η · l u = ν · 4 r h ν´
v: Geschwindigkeit
ρ: Dichte
A: Fließquerschnitt
η: Viskosität (temperaturabhängig)
lu: benetzter Umfang
rhy: hydraulischer Radius (=A/lu)
ν': kinematische Viskosität (= η / ρ, temperaturabhängig)

Wenn Re den Wert von 2300 überschreitet, sind die Bedingungen für eine turbulente Strömung gegeben.

Abb. 7.7: Geschwindigkeitsprofil einer laminaren und einer turbulenten Strömung