7.9 Extremwertprognose

Dieses Kapitel wurde für die Vorlesung von M. Schöniger an der Fachhochschule Nordostniedersachsen (Suderburg) eingefügt. Es dient als Ergänzung zum Skript von Prof. Wittenberg (Kap. 7, S. 34).

Wahrscheinlichkeitsanalyse von Extremwerten

Bemessungshochwasser und -niederschlag

Ziel der Extremwertprognose ist die Beschreibung der diskreten Häufigkeitsdichte bzw. der Unterschreitungsdauerlinie der Stichprobe durch eine kontinuierliche Dichtefunktion bzw. Verteilungsfunktion, welche die Grundgesamtheit erfassen soll. Diese Dichtefunktion liefert dann auch für die außerhalb der Stichprobenausdehnung liegende, d.h. extreme x-Werte, Häufigkeitsaussagen, die bezogen auf die Grundgesamtheit als Eintrittswahrscheinlichkeit bezeichnet werden.

Als Maßzahlen zur Charakteristik der Häufigkeitsdichte und zur Erfassung durch eine Dichtefunktion dienen statistische Parameter:

Mittelwert:
Standardabweichung:
Schiefekoeffizient:

Eintrittswahrscheinlichkeiten P von Bemessungshochwasser- und niederschläge

Eintrittswahrscheinlichkeit = 1 / Wiederkehrintervall

Die Berechnung von Werten x(P) mit einem Wiederkehrintervall Tn(x) aus einzelnen Verteilungsfunktionen wird durch die Gleichung

wesentlich erleichtert. Der normierte Wert z, vielfach auch als Häufigkeitsfaktor k bezeichnet (Frequenzfaktor im Wittenberg-Skript), ist von der Verteilung, der Wiederholungszeitspanne Tn und bei dreiparametrigen Funktionen vom Schiefekoeffizienten cs abhängig.

Durch Umformung obriger Gleichung kann nach Bestimmung des Häufigkeitsfaktors k(=z) der einer vorgegebenen Wiederholungszeitspanne Tn zugeordnete Wert Tn(x) [≡x(P)] aus der allgemeinen Häufigkeitsgleichung ("allgemeine Frequenzformel oder hydrologische Grundgleichung" n. Schröder et al.) berechnet werden:

xTn = xM + k(Tn) sx .

k-Wertberechnung für

Berechnung der Hochwasserwahrscheinlichkeit (1979), DVWK-Regeln zur Wasserwirtschaft, H. 101, Verlag Paul Parey, Hamburg

Beispielsaufgabe

Für die Jahre 1950 bis 1979 sind am Pegel eines Mittelgebirgsflusses gemessene Zeitreihen der Jahreshöchstabflüsse HQ dargestellt. Im Rahmen einer wasserbaulichen Maßnahme ist eine Extremwertprognose (s. Wittenberg-Skript S. 35) mit den folgenden Fragestellungen durchzuführen:

  1. Wie groß sind die 50- und 100-jährigen Hochwasserabflüsse HQ50 und HQ100?
  2. Welche Wiederholungszeitspannen Tn sind dem größten beobachteten Jahreshöchstabfluss max HQ=78 m3/s zuzuordnen?
  3. Wie groß ist das stochastische Risiko, dass der Abfluss max HQ=78 m3/s in der angenommenen Funktionsdauer von 30 a einmal erreicht oder überschritten wird?

gegeben:

xM = 47,83 m3/s

sx = 13,86 m3/s

cs = 0,31

Lösung zu 1: ... es sind (extreme) x-Werte für vorgegebene Wiederholungszeitspanne Tn gesucht. Die Prognose der Extremwerte wird unter Zugrundelegung verschiedener Verteilungsfunktionen durchgeführt. Für die Parameterschätzung wird von der in der Ingenieurshydrologie weitverbreiteten Momentenmethode ausgegangen.

Rechnung:

Tn(x = HQ 50) = 50 a : P(x) = 0,98, 1 - P(x) = 0,02 (2% Häufigkeit)

... Verwendung der Gauß-Normalverteilung, in der 1-P(z) mit k und P(k) tabelliert sind (... Ordinate Häufigkeitsfaktor k, Abzisse 2. Stelle hinter dem Komma, in der Tabelle die Häufigkeiten).

  1. für Tn= 50 a, d.h. [1-P(k)] = 0,02 {s. o.} .... k = 2,05 {aus Tab.}
  2. Rücksubsitution mit Tn = 50 a und k = 2,05

x bzw. HQ 50 = 2,05 · 13,86 + 47,83 = 76,3 m3/s

Mit der Pearson-Verteilung Typ 3 (cs = 0,58): HQ = 2,359 · 13,86 + 47,83 = 80,52 m3/s

Beispiel im Skript (Einschub!)

T = 20 a, ; 1-P(x) = 0,05,

Pearson-3 (cs = 1.15): k20 = 1,902; HQ 20 = 68,8 + 1,902 · 37,1 = 139 m3/s

Gumbel (cs = 2): k20 = 1,867; HQ 20 = 68,8 + 1,867 · 37,1 = 138 m3/s

Wichtige Anmerkungen:

Die Auswahl geeigneter Verteilungsfunktionen für die möglichst gute Anpassung und Extrapolation der Stichprobe muss unter Berücksichtigung der Form der Häufigkeitslinie und der statistischen Parameter vorgenommen werden (Prüfverfahren).

Die für die ausgewählten Dichtefunktionen p(x) festzulegenden Parameter sollen eine möglichst gute Anpassung (nach Form und Größe) an die Häufigkeitslinie der Stichprobe erzwingen. Dazu gibt es verschiedene Parameter-Schätzverfahren:

... das bekannteste und die in der Ingenieurhydrologie häufig verwendete Technik ist die

MOMENTEN-Methode.

Dabei wird davon ausgegangen, dass die statistischen Parameter (Momente) der die Stichprobe beschriebenen Häufigkeitslinie auch für die Gesamtheit gelten, d.h. als Parameter der Dichtefunktion anzusetzen sind.

Lösung zu 2: ...es sind Wiederholungszeitspannen Tn für (extreme) x-Werte gesucht. Die Werte HQ1 = x1 = 78 m3/s (= max. x der Stichprobe) und HQ2 = x2 = 95 m3/s sind vorgegeben.

Mit Gauß-Normalverteilung: Die Überschreitungswahrscheinlichkeiten [1-P(x)] bzw. [1-P(k)] mit k = (x-xM)/sx können aus den entsprechenden Wahrscheinlichkeits-Tabellen entnommen werden:

x1 = 78 m3/s: ; [1-P(k)] = 0,01472 (interpoliert aus Tab.)

x2 = 95 m3/s: ; [1-P(k)] = 0,0003

...mit Pearson-Verteilung Typ3 gerechnet:

...für x1 = 78 m3/s Tn = 37,8 a

...für x2 = 95 m3/s Tn = 370 a

... mit Gauß-Normalverteilung:

x1 = 78 m3/s : P´(x=78) = 97.3%

Lösung c:

Das stochastische Risiko Pk, dass ein extremes Ereignis x der Wiederholungszeitspanne Tn(x) in einem vorgegebenen Zeitraum Tf < Tn (x) einmal auftritt, kann aus

... für max HQ = 78 m3/s; Tf = 30a; Tn = 37,8 a:

Tabelle 7.4: k-Werte für positive Schiefe CS (Pearson-Typ-III-Verteilung; für CS = 0 Werte der Normalverteilung. Werte aus Maniak 1997, S. 122).

Wiederkehrintervall in Jahren
Schiefe1,01011,05261,2500251025501002001000
Häufigkeit in %
Cs9995805020104210,50,1
3,0-0,667-0,665-0,636-0,3960,4201,1802,2783,1524,0514,9707,152
2,9-0,690-0.688-0,651-0,3900,4401,1952,2773,1344,0134,9097,034
2,8-0,714-0,711-0,666-0,3840,4601,2102,2753,1143,9734,8476,915
2,7-0,740-0,736-0,681-0,3760.4791,2242,2723,0933,9324,7836,794
2,6-0,769-0,762-0,696-0,3680,4991,2382,2673,0713,8894,7186,672
2,5-0,799-0,790-0,711-0,3600,5181,2502,2623,0483,8454,6526,548
2,4-0,832-0,819-0,725-0,3510,5371,2622,2563,0233,8004,5846,423
2,3-0,867-0,850-0,739-0,3410,5551,2742,2482,9973,7534,5156,296
2,2-0,905-0,882-0,752-0,3300,5741,2842,2402,9703,7054,4446,168
2,1-0,946-0,914-0,765-0,3190,5921,2942,2302,9423,6564,3726,039
2,0-0,990-0,949-0,777-0,3070,6091,3022,2192,9123,6054,2985,908
1,9-1,037-0,984-0,788-0,2940,6271,3102,2072,8813,5534,2235,775
1,8-1,087-1,020-0,799-0,2820,6431,3182,1932,8483,4994,1475,642
1,7-1,140-1,056-0,808-0,2680,6601,3242,1792,8153,4444,0695,507
1,6-1,197-1,096-0,817-0,2540,6751,3292,1632,7803,3883,9905,371
1,5-1,256-1,131-0,825-0,2400,6901,3332,1462,7433,3303,9105,234
1,4-1,318-1,168-0,832-0,2250,7051,3372,1282,7063,2713,8285,095
1,3-1,383-1,206-0,838-0,2100,7191,3392,1082,6663,2113,7454,955
1,2-1,449-1,243-0,844-0,1950,7321,3402,0872,6263,1493,6614,815
1,1-1,518-1,280-0,848-0,1800,7451,3412,0662,5853,0873,5754,673
1,0-1,588-1,317-0,852-0,1640,7581,3402,0432,5423,0223,4894,531
0,9-1,660-1,353-0,854-0,1480,7691,3392,0182,4982,9573,4014,388
0,8-1,733-1,388-0,856-0,1320,7801,3361,9932,4532,8913,3124,244
0,7-1,806-1,423-0,857-0,1160,7901,3331,9672,4072,8243,2234,100
0,6-1,880-1,458-0,857-0,0990,8001,3281,9392,3592,7553,1323,956
0,5-1,955-1,491-0,856-0,0830,8081,3231,9102,3112,6863,0413,811
0,4-2,029-1,524-0,855-0,0660,8161,3171,8802,2612,6152,9493,666
0,3-2,104-1,555-0,853-0,0500,8241,3091,8492,2112,5442,8563,521
0,2-2,178-1,586-0,850-0,0330,8301,3011,8182,1592,4722,7633,377
0,1-2,252-1,616-0,846-0,0170,8361,2921,7852,1072,4002,6703,233
0,0-2,326-1,645-0,8420,0000,8421,2821,7512,0542,3262,5763,090

Tabelle 7.5: Jährliche Niederschlagssummen der Station Hohenheim für 80 Beobachtungsjahre, geordnet in Klassen der Breite b = 50 mm (Werte aus Maniak 1997, S. 124)

Klassen- Klassenhäufigkeit Summen-        
Grenzen Mitte xi ni rel. f=ni/N häufigkeit P(x)=m/N+1 xini xi - x ni (xi - x
(mm)(mm)(Anzahl)(-)(%)(%)(mm)(mm)(mm²)
375 0 0
400 2 2,50 800 -280 156800
425 2,50 2,47
450 l 1,25 450 -230 52900
475 3,75 3,70
500 4 1,00 2000 -180 129600
525 8,75 8,64
550 9 11,25 4950 -130 152100
575 20,00 19,75
600 9 11,25 5400 -80 57600
625 31,25 30,86
650 18 22,50 11700 -30 16200
675 53,75 53,09
700 10 12,50 7000 20 4000
725 66,25 65,43
750 13 16,25 9750 70 63700
775 82,50 81,48
800 4 5,00 3200 120 57600
825 87,50 86,42
850 3 3,75 2550 170 86700
875 91,25 90,12
900 3 3,75 2700 220 145200
925 95,00 93,82
950 2 2,50 1900 270 145800
975 97,50 96,30
1000 2 2,50 2000 320 204800
1025 100,00 98,77
Summe: 80 100 54400 1273000

(aus: Maniak [1998], S. 125)

Verteilungsfunktionen entsteht aus der Dichtefunktion

Die Summenlinie (das Integral) der Verteilungsfunktion ergibt die Dauerlinie der Unterschreitung, die sogenannte Wahrscheinlichkeitskurve. Mit ihrer Extrapolation kann die Größe wahrscheinlicher Extremwerte auch für sehr kleine Eintrittswahrscheinlichkeiten bzw. große statistische Wiederkehrintervalle bestimmt werden.

Dichtefunktion der Standardnormalverteilung

Dichtefunktion der N(3,1)-Verteilung

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

Verteilungsfunktion F(t) als Fläche unterhalb der Dichtefunktion

P({13 < X < 16}) als Fläche unterhalb der Dichtefunktion

Aus: Vorlesung Statistik III (F. Böker)

Zur Ermittlung von Hochwasserabflüssen seltener Eintrittswahrscheinlichkeiten Projektbearbeiter: Dipl.- Ing. Nach der in der Bundesrepublik gültigen DIN 19700 für Planung, Bau und Betrieb von Hochwasserrückhaltebecken werden für die Bemessung von Hochwasserschutzräumen Ereignisse mit Wiederkehrintervallen bis T = 100 Jahre und von Hochwasserentlastungsanlagen...

HQ-EX Version 2.0 - Handbuch

http://www.wasy.de/deu/prodinfo/hq/hqex/hqex_on2.htm

Das Programm HQ-EX dient der Berechnung von Hochwasserwahrscheinlichkeiten. Es entstand in Übereinstimmung mit der Neufassung /1/ der DVWK-Regel 101 "Empfehlung zur Berechnung der Hochwasserwahrscheinlichkeit", ab 1998 die vorhergehende Fassung aus dem Jahre 1979 ablöst. Sie kann über die in Abschnitt 4 /1/ angegebene Adresse angefordert werden. Die Arbeit /2/ von KLUGE zur "Wahrscheinlichkeitsanalyse von Hochwasserdurchflüssen" bildet die fachliche Basis des Programmes. Die vorliegende Version 2.0 wird nach einer mehrmonatigen Testphase ab Juli 1997 ausgeliefert.

Das Programm HQ-EX analysiert Stichproben von Jahreshöchstabflüssen an Pegeln, indem es

Literatur

/1/ Statistische Analyse von Hochwasserabflüssen.

DVWK-Regel 101, unveröffentlichter Entwurf 1997 (zu beziehen bei DVWK Geschäftsstelle, Gluckstraße 2, 53115 Bonn).

/2/ KLUGE, C.

Statistische Analyse von Hochwasserdurchflüssen.

Dresdner Berichte, Institut für Siedlungs- und Industriewasserwirtschaft,Institut für Hydrologie und Meteorologie, TU Dresden, H.7, 1996.

/3/ PLATE, E.J.

Statistik und angewandte Wahrscheinlichkeitslehre für Bauingenieure.

Ernst & Sohn, Verlag für Architektur und technische Wissenschaften,Berlin, 1993.