10.5 Wasserbewegung in flüssiger Phase

10.5.1 Beschreibung eindimensionaler stationärer Strömung

Nur selten befindet sich das Wasser im Boden in einem statischen Gleichgewicht. Meist kommt es durch Wasserzugewinn (z.B. Niederschlag) oder -verlust (z.B. Evapotranspiration, Grundwasserentnahme) zu einer Potentialdifferenz. Diese hat eine ausgleichende Wasserbewegung vom höheren zum niedrigeren Potential zufolge.

Die Wasserbewegung ist außerdem abhängig von den Eigenschaften des durchströmten Materials. Für die mathematische Beschreibung der Strömung ist also auch die Wasserleitfähigkeit oder Durchlässigkeit des Bodens wichtig. Diese wird angegeben durch einen substratspezifischen Proportionalitätsfaktor, die hydraulische Leitfähigkeit oder auch Wasserleitfähigkeits- bzw. Durchlässigkeitskoeffizient, kurz meist kf-Wert. Folgender Zusammenhang wurde 1856 von Darcy für den Fluss im gesättigten Boden gefunden:

Darcy-Gleichung
q W = - k f · ψ H z
qW Wassermenge, die je Zeiteinheit durch einen Fließquerschnitt strömt [m³/s]
kf hydraulische Leitfähigkeit
ψH antreibendes Potential (hier das hydraulische Potential)
z Fließstrecke

Diese Formulierung der Darcy-Gleichung beschreibt eine eindimensionale Strömung (hier in z-Richtung). Außerdem wird die Strömung als stationär angenommen, d.h. das antreibende Potential ist nicht von der Zeit abhängig.

In der Natur liegt jedoch meist eine teilweise Sättigung des Bodens ("ungesättigt") vor. Dann muss die hydraulische Leitfähigkeit als Funktion des Matrixpotentials angegeben werden. Des weiteren erfolgt die Bewegung dreidimensional. Zur Beschreibung muss der Massenerhalt beachtet werden, welcher in der Kontinuitätsgleichung berücksichtigt wird.

Hydraulische Eigenschaften sind effektive Größen, d.h. sie beschreiben das Verhalten eines hinreichend großen Bodenvolumens, ohne dass etwa Details des Porenraumes betrachtet werden.

Der Boden ist ein Kapillarsystem, das sehr inhomogen und anisotrop ist, d.h. verschiedene Bodenschichten verhalten sich physikalisch verschieden. In Mikroporen kann Wasser über längere Zeit festgelegt sein. In Makroporen (z.B. aufgefüllte Wurzelkanäle, Klüfte) ist Wasser dagegen mobil. Hier kann "preferential flow" entlang "bevorzugter" Fließbahnen erfolgen.

Körnung und Gefüge des Bodens haben einen Einfluss auf die Wasserleitfähigkeit, welcher mathematisch beschrieben werden kann. In die Hagen-Poiseuillesche Gleichung gehen Anzahl, Größe und Form der Poren über den Radius mit ein.

Hagen-Poisseuillesche Gleichung
q W = π · r 4 · Δ ψ 8 · η · s
qW Wassermenge, die je Zeiteinheit durch einen Fließquerschnitt strömt [m³/s]
r Radius
ψ hydraulische Potentialdifferenz
η Viskosität
s Fließstrecke

Zur Abschätzung der Wasserleitfähigkeit aus der Körnung kann bei Sanden folgende Näherungsformel angewendet werden:

Hazensche Näherungformel
k 100 · D 10 2
D10 Korndurchmesser [cm], der auf der Abszisse (x-Achse) der Körnungssummenkurve dem Ordinatenwert (y-Achse) 10 entspricht.

10.5.2 Bestimmung der hydraulischen Leitfähigkeit

Zur Bestimmung der ungesättigten Leitfähigkeit im Freiland wird der Potentialgradient mit Tensiometern und die Veränderung der Wassergehalte z.B. mit TDR-Verfahren aufgenommen. Die hydraulische Leitfähigkeit läßt sich dann über die Darcy-Gleichung (mit den genannten Einschränkungen) berechnen. Im Labor kann eine in einem Stechzylinder befindliche Bodenprobe untersucht werden.

Auf die Bestimmung der gesättigten Leitfähigkeit im Feld wird im Kapitel Grundwasser näher eingegangen.

Abb. 10.9 Durchlässigkeiten von Lockersedimenten (nach Bentz & Martini 1969).

10.5.3 Beschreibung eindimensionaler instationärer Strömung

Die in 10.5.1 beschriebene stationäre Strömung kommt eigentlich nur im Grund- und Stauwasserbereich vor, wo der Wassergehalt über längere Zeit konstant sein kann. Für die Wasserbewegung im ungesättigten Bereich spielt jedoch der Einfluss von Niederschlag, Evaporation, pflanzlicher Wasseraufnahme, kapillaren Aufstieg und Versickerung eine wichtige Rolle. Diese Größen sind sehr stark von der Zeit abhängig. Also wird die Bodenwasserbewegung besser durch eine instationäre Strömung beschrieben.

Die Richards-Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der Veränderung des Wassergehaltes eines Bodenvolumens in einer Zeiteinheit und dem Fluss, der durch einen Potentialgradienten hervorgerufen wird. Hier wird nur die eindimensionale Formulierung (fluss in z-Richtung) beschrieben. Zunächst gilt, dass die zeitliche Änderung des Wassergehaltes gleich der Änderung des Flusses in Fließrichtung ist (Kontinuitätsgleichung):

θ t = - q W z

Der Fluss wird durch die Darcy-Gleichung beschrieben, hier die erweiterte Formulierung nach Darcy-Buckingham 1907:

q W = - k ψ m · ψ H z

Die Kombination aus Fließgleichung und Kontinuitätsgleichung ergibt schließlich die Richards-Gleichung (1931). Dabei wird das hydraulische Potential eliminiert, indem es als Summe aus Matrixpotential und Gravitationspotential ausgedrückt wird: ψH = ψm + ψz = ψm + (h-z). Bei der Bildung der Ableitung von (h-z) nach z ergibt sich d(h-z) / dz = -1.

Richards-Gleichung
θ t = z k ψ m · ψ m z - 1
θ t Zeitliche Änderung des Wassergehaltes
k ψ m Hydraulische Leitfähigkeit, abhängig vom Matrixpotential
ψ m z Änderung des Matrixpotentials in Fließrichtung

Die Richards-Gleichung ist Grundlage vieler Modelle für die Wasserbewegung in der ungesättigten Zone, ein großer Vorteil liegt in der relativ einfachen Bestimmung der hydraulischen Leitfähigkeit und der Wasserspannungskurve (pF-Kurve) als notwendige Parameter für die Modellierung. Die Darcy-Gleichung ist meist Grundlage von Modellen für die Wasserbewegung in der gesättigten Zone.