11.7 Theorie der Grundwasserströmung

Wichtige theoretische Grundlage ist das Darcy'sche Gesetz, das im vorherigen Kapitel bereits besprochen wurde.

Die Filtergeschwindigkeit (Grundwasserströmung) wird in erster Linie von der Druckkraft, der Schwerkraft und der Reibungskraft beeinflusst.

Druckkraft: p s
Schwerkraft: γ · z s
laminare Reibungskraft: c · η · ν
Kapillarkraft: - p k s

Bewegungsgleichung für die Filterströmung (vektorielle Schreibweise, nach Busch & Luckner (1974) sowie Bear & Bachmat (1991):

p s + γ z s - p k s + c · η · ν = 0

Der Klammerausdruck kann entsprechend der Potentialtheorie zu einem Potentialgradienten zusammengefaßt werden. Bei Grundwasserströmung in ungespannten Grundwasserleitern (p=0) ist = h (Darcy-Gesetz):

Φ s = 1 γ p s + z s - 1 γ p k s
v = - k h s = - k · grad h

Für ein Volumenelement Wasser, das eine Querschnittsfläche A pro Zeiteinheit durchströmt (Grundwasserdurchfluss) gilt:

Q = s · A = k · A · grad h

Das Massenerhaltungsgesetz (Kontinuitätsgesetz) besagt, dass die Differenz zwischen den in ein betrachtetes Volumenelement je Zeiteinheit ein- und ausströmenden Massen gleich der Massenänderung des Volumenelements ist. Bei konstanter Dichte des Grundwassers ist die Volumenänderung gleich der Änderung des Volumenstromes längs des Wegelements (=div Q):

div Q = - 1 p V t

Ersetzt man die Filtergeschwindigkeit durch das Darcy-Gesetz, so ergibt sich

div k · grad h = S S h t

mit Ss ... spezifischer Speicherkoeffizient.

Bei Berücksichtigung von Quellen (z.B. Grundwasserneubildung) oder Senken (Grundwasserentnahme) durch die Ortsfunktion q (x, y, z, t) wird die obige Gleichung zur Differentialgleichung der Grundwasserbewegung bei Gültigkeit des Darcy-Gesetzes in Porenaquiferen umgewandelt:

div k · grad h = S S h t ± q x , y , z , t

Bei Annahme vereinfachter Bedingungen (homogener, isotroper Aquifer mit konstanter hydraulischer Leitfähigkeit) erhalten wir die einfache Form der Differentialgleichung:

2 h x 2 + 2 h y 2 + 2 h z 2 = S S k · h t ± q x , y , z , t k

Bei gleichzeitiger Quellenfreiheit (q = 0) und stationärer Grundwasserströmung erhalten wir die Laplace-Gleichung:

2 h x 2 + 2 h y 2 + 2 h z 2 = 0

Die theoretischen Grundlagen können wie folgt stichwortartig zusammengefaßt werden: Die mathematische Formulierung der Grundwasserströmung in einem Porengrundwasserleiter beruht zum einen auf der Gültigkeit des Gesetzes von DARCY, d.h. die Strömung ist laminar und die Durchflussraten sind proportional zum anliegenden hydraulischen Gradienten, zum andern auf dem Kontinuitätsbedingung. Mit dem Kontinuitätsgesetz komm zum Ausdruck, das die Bilanz der in einem betrachteten Grundwasserkörper zu- und abströmende Grundwassermengen gleich der Vorratsänderung ist.